2次関数入門

2次関数の定義から頂点・平方完成・判別式までをまとめた入門記事です。

2次関数の定義

2次関数は、放物線を描く最も基本的な関数の一つです。物理の運動や最適化など、さまざまな場面で現れます。

定義

$a \neq 0$ のとき、

$$ y = ax^2 + bx + c $$

の形で表される関数を2次関数という。ここで $a, b, c$ は定数である。

定義

2次関数のグラフ（放物線）が向きを変える点を頂点という。

quadratic-functionは、平方完成によって頂点が読み取れる形に変形できます。

定理

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ は、次のように変形できる。

このとき頂点の座標は $\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)$ である。

定理

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）について、

とおく。$D > 0$ のとき異なる2つの実数解、$D = 0$ のとき重解、$D < 0$ のとき実数解を持たない。

completing-the-squareからわかるように、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号は、放物線と $x$ 軸の交点の個数を決定します。