2次関数入門

2次関数の定義から頂点・平方完成・判別式までをまとめた入門記事です。

2次関数の定義

2次関数は、放物線を描く最も基本的な関数の一つです。物理の運動や最適化など、さまざまな場面で現れます。

定義

のとき、

の形で表される関数を2次関数という。ここでは定数である。

定義

2次関数のグラフ（放物線）が向きを変える点を頂点という。

quadratic-functionは、平方完成によって頂点が読み取れる形に変形できます。

定理

2次関数は、次のように変形できる。

このとき頂点の座標はである。

定理

2次方程式（）について、

とおく。のとき異なる2つの実数解、のとき重解、のとき実数解を持たない。

completing-the-squareからわかるように、判別式の符号は、放物線と軸の交点の個数を決定します。