複素数 の定義・定理
数と式 の「複素数」に関する定義・定理の一覧です。
複素数入門
定義
複素数
複素数とは、実数 $a, b$ と虚数単位 $i$ を用いて $z = a + bi$ と表される数である。
ここで $i^2 = -1$ である。
実数 $a$ を実部 (real part)、実数 $b$ を虚部 (imaginary part) と呼ぶ。
定義
虚数単位
虚数単位 $i$ は $i^2 = -1$ を満たす数として定義される。
定理
複素数の等号
二つの複素数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ と $z_2 = a_2 + b_2 i$ について、
$z_1 = z_2$ であることと $a_1 = a_2$ かつ $b_1 = b_2$ であることは同値である。
定義
複素共役
複素数 $z = a + bi$ に対して、その複素共役 $\overline{z}$ を$$\overline{z} = a - bi$$として定義する。
定理
複素数の絶対値
複素数 $z = a + bi$ の絶対値は$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$$で定義される。
定理
複素数の乗法
二つの複素数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ と $z_2 = a_2 + b_2 i$ の積は$$z_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$$である。
これは
定理
オイラーの公式
任意の実数 $\theta$ に対して、$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$が成り立つ。
特に $\theta = \pi$ のとき、$$e^{i\pi} + 1 = 0$$が得られる。これはオイラーの等式と呼ばれ、数学で最も美しい等式の一つとされる。