複素数入門

複素数の基本定義から演算、オイラーの公式までをまとめた入門記事です。

複素数の定義

複素数は数学において重要な概念の一つです。実数の拡張として考えることができ、多くの数学的問題を解決するための強力な道具となります。

定義

複素数

複素数とは、実数 と虚数単位 を用いて と表される数である。 ここで である。

実数 を実部 (real part)、実数 を虚部 (imaginary part) と呼ぶ。

定義

虚数単位

虚数単位 は を満たす数として定義される。

複素数の性質

complex-numberの定義に基づいて、複素数にはいくつかの重要な性質があります。

定理

複素数の等号

二つの複素数 と について、 であることと かつ であることは同値である。

定義

複素共役

複素数 に対して、その複素共役 を

として定義する。

定理

複素数の絶対値

複素数 の絶対値は

で定義される。

複素数の演算

complex-numberで定義した複素数に対して、以下のような演算を定義できます。

加法と減法

二つの複素数 と について：

  • 加法：
  • 減法：

乗法

定理

複素数の乗法

二つの複素数 と の積は

である。

これはimaginary-unitの性質 を用いて導出できる。

証明

分配法則で展開し、imaginary-unitの性質 を用いる。

オイラーの公式

複素数論における最も美しい結果の一つが、オイラーの公式です。

定理

オイラーの公式

任意の実数 に対して、

が成り立つ。

特に のとき、

が得られる。これはオイラーの等式と呼ばれ、数学で最も美しい等式の一つとされる。

オイラーの公式により、complex-numberで定義した複素数を極形式で表現することが可能になります。

まとめ

この記事では、complex-numberから始まって、euler-formulaまで、複素数の基本的な概念と性質を学びました。

複素数は：

次回は複素数の幾何学的解釈について学習します。